設(shè)Sn是數(shù)列[an}的前n項和，a1=1，
S
2
n
=an(Sn-
1
2
)，(n≥2)．
（1）求{an}的通項；
（2）設(shè)bn=
Sn
2n+1
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
分析：（1）由條件可得n≥2時，
S
2
n
=(Sn-Sn-1)(Sn-
1
2
)，整理可得
1
Sn
-
1
Sn-1
=2，故數(shù)列{
1
sn
}是以2為公差的等差數(shù)列，其首項為
1
S1
=1，由此求得sn．再由an=
2
S
2
n
2Sn-1

求出{an}的通項公式．
（2）由（1）知，bn=
Sn
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)，用裂項法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
解答：解：（1）∵
S
2
n
=an(Sn-
1
2
)，
∴n≥2時，
S
2
n
=(Sn-Sn-1)(Sn-
1
2
)，
展開化簡整理得，Sn-1-Sn =2Sn-1Sn，∴
1
Sn
-
1
Sn-1
=2，∴數(shù)列{
1
sn
 }是以2為公差的等差數(shù)列，其首項為
1
S1
=1．
∴
1
Sn
=1+2(n-1)，Sn=
1
2n-1
．
由已知條件
S
2
n
=an(Sn-
1
2
) 可得 an=
2
S
2
n
2Sn-1
=
1，n=1
-2
(2n-1)(2n-3)
，n≥2
．
（2）由于 bn=
Sn
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)，
∴數(shù)列{bn}的前n項和 Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]，
∴Tn=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
．
點評：本題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，等差關(guān)系的確定，用裂項法對數(shù)列進(jìn)行求和，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和，a1=a，且Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n=2，3，4，…．
（1）證明數(shù)列{an+2-an}（n≥2）是常數(shù)數(shù)列；
（2）試找出一個奇數(shù)a，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列{bn}（n∈N*）中的所有項都是數(shù)列{an}中的項，并指出bn是數(shù)列{an}中的第幾項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a3=-5，a6=1，此數(shù)列的通項公式為
 
，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S8等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}與{bn}滿足關(guān)系，a1=2a，an+1=
1
2
（an+
a2
an
），bn=
an+a
an-a
（n∈N+，a＞0）
（l）求證：數(shù)列{log3bn}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，當(dāng)n≥2時，Sn與(n+
4
3
)a是否有確定的大小關(guān)系？若有，請加以證明，若沒有，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Sn是數(shù)列{an} 的前n項和，若
S2nSn
(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an} 為“和等比數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{2bn}是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列 {bn}
 
（填“是”或“不是”）“和等比數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{cn}是首項為c1，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列 {cn} 是“和等比數(shù)列”，則d與c1之間滿足的關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且點（n，Sn）在函數(shù)y=x2+2x上，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知bn=2n-1，Tn=
1
a1．b1
+
1
a2．b2
+…+
1
an．bn
，求Tn．

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