Question

【題目】如圖，已知F1、F2是橢圓G： 的左、右焦點(diǎn)，直線l：y=k（x+1）經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1 ， 且與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為 ．
（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得△ABF2為等腰直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓G的半焦距為c，因?yàn)橹本�l與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），故c=1． 又△ABF2的周長(zhǎng)為 ，即 ，故a= ．
所以，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．
因此，橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
注：本小題也可以用焦點(diǎn)和離心率作為條件，即將周長(zhǎng)換離心率．
（Ⅱ）不存在．理由如下：先用反證法證明AB不可能為底邊，即|AF2|≠|(zhì)BF2|．
由題意知F2（1，0），設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），假設(shè)|AF2|=|BF2|，
則 ，
又 ， ，代入上式，消去 ，得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣6）=0．
因?yàn)橹本�l斜率存在，所以直線l不垂直于x軸，所以x1≠x2 ， 故x1+x2=6（與x1≤ ，x2≤ ，x1+x2≤2 ＜6，矛盾）．
聯(lián)立方程 ，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
所以 =6，矛盾．
故|AF2|≠|(zhì)BF2|．
再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．
假設(shè)△ABF2為等腰直角三角形，不妨設(shè)A為直角頂點(diǎn)．
設(shè)|AF1|=m，則 ，
在△AF1F2中，由勾股定理得： ，此方程無(wú)解．
故不存在這樣的等腰直角三角形．
注：本題也可改為是否存在直角三角形？會(huì)簡(jiǎn)單一些．改為是否存在等腰三角形則不易計(jì)算，也可修改橢圓方程使存在等腰直角三角形．
【解析】（Ⅰ）由題意可知：c=1，4a=4 ，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．即可求得橢圓方程；（Ⅱ）分類討論，假設(shè)|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6．（與x1≤ ，x2≤ ，x1+x2≤2 ＜6，矛盾），將直線方程代入橢圓方程由韋達(dá)定理： =6，矛盾．故|AF2|≠|(zhì)BF2|．再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得： ，此方程無(wú)解．故不存在這樣的等腰直角三角形．