Question

如圖，多面體ABCDE中，四邊形ABED是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，平面BAED^平面ACD，△ACD是邊長為2a的正三角形，DE=2AB=2a，F(xiàn)是CD的中點
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD與面BCE所成二面角的大�。�

Answer 1

分析：（I）由已知中，∠BAD=90°，DE∥AB，結(jié)合平面BAED⊥平面ACD，易得到DE⊥面ACD，DE⊥AF，又由F是CD的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一得AF⊥CD，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）延長DA，EB相交于點G，連接CG，根據(jù)平行線分線段成比例定理，我們及判斷出AF∥CG，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們易得∠DCE為面ACD與面BCE所成二面角的平面角，解三角形ACD，即可得到答案．

解答：（Ⅰ）證明：∵∠BAD=90°，DE∥AB，∴DE⊥AD
又平面BAED⊥平面ACD，平面BAED∩平面ACD=AD，∴DE⊥面ACD，∴DE⊥AF（3分）
∵DACD是正三角形，F(xiàn)是CD的中點，
∴AF⊥CD，
∴AF⊥平面CDE．（6分）
（Ⅱ）解：延長DA，EB相交于點G，連接CG，
易知平面ACD∩平面BCE=GC
由DE∥ABB，DE=2AB=2a知

GA

GD

=

AB

DE

=

1

2

∴

DA

DG

=

1

2

∵F是CD的中點，∴

DF

DC

=

1

2

，
∴

DA

DG

=

DF

DC

?AF∥CG
由（Ⅰ）AF⊥平面CDE，∴GC⊥平面CDE
∴GC⊥CD，GC⊥CE
∴∠DCE為面ACD與面BCE所成二面角的平面角 （9分）
在DCDE中，∠CDE=90°，DE=CD=2a，∴∠DCE=45°
即面ACD與面BCE所成二面角為45° （12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的判定、性質(zhì)、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．