已知向量
m
=(sinx，cosx)，
n
=(
3
cosx，cosx)，且函數(shù)f(x)=
m
•
n
+a
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值的和為
3
2
，求a的值．
分析：（1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的公式化簡可得f（x）的解析式，進(jìn)而可得周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）由x的范圍可得f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值，由題意可得關(guān)于a的方程，解之可得．
解答：解：（1）由題意可得f(x)=
m
•
n
+a=
3
sinxcosx+cos2x+a
=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+a=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+a+
1
2

=sin(2x+
π
6
)+a+
1
2
，
∴T=
2π
2
=π，
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，
解得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間是[
π
6
+kπ，
2
3
π+kπ](k∈Z)
（2）∵
-
π
6
≤x≤
π
3
，
∴-
π
6
≤2x+
π
6
≤
5π
6
，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，
∴f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值的和
(1+a+
1
2
)+(-
1
2
+a+
1
2
)=
3
2
，
解得a=0．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)與向量數(shù)量積的結(jié)合，涉及三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當(dāng)θ∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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