Question

已知f（x）=-x³+ax，其中a∈R．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若g(x)=-

1

2

x

3

2

，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)，將f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，轉化為f'（x）=-3x²+a≥0，對于x∈（0，1）恒成立，分離參數(shù)可得a≥3x²恒成立，從而可求a的取值范圍；
（2）根據(jù)g(x)=-

1

2

x

3

2

，且f（x）＜g（x），從而轉化為(x2-

1

2

x

1

2

-a)＞0在（0，1）恒成立，分離參數(shù)可得a＜x2-

1

2

x

1

2

在（0，1）恒成立．構造函數(shù)h(x)=x2-

1

2

x

1

2

，可知函數(shù)在(0，

1

4

)上單調減，在(

1

4

，1)上單調增
，從而h(x)min=h(

1

4

)=-

3

16

，故求a的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+a
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
∴f'（x）=-3x²+a≥0，對于x∈（0，1）恒成立
∴a≥3x²恒成立．
∴a≥3…（6分）
（2）∵g(x)=-

1

2

x

3

2

，且f（x）＜g（x）
∴-x3+ax＜-

1

2

x

3

2

，
∴x(x2-

1

2

x

1

2

-a)＞0，
∴(x2-

1

2

x

1

2

-a)＞0在（0，1）恒成立．…（8分）
∴a＜x2-

1

2

x

1

2

在（0，1）恒成立．
構造函數(shù)h(x)=x2-

1

2

x

1

2

則h′(x)=2x-

1

4 x

由h′(x)=0，x=

1

4

…（10分）
函數(shù)在(0，

1

4

)上單調減，在(

1

4

，1)上單調增
∴h(x)min=h(

1

4

)=-

3

16

∴a＜-

3

16

…（12分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)恒成立問題，考查分離參數(shù)法求變量的取值范圍，解題的關鍵是分離參數(shù)，利用求最值的方法，求參數(shù)的取值范圍．