【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.

①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

【答案】（1）橢圓方程為，準圓方程為；（2）①，證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到橢圓方程和準圓方程.

（2）（�。┰O直線為，聯(lián)立方程計算得到，得到答案.

（ⅱ）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設點，切線為，聯(lián)立方程得到，，得到直線垂直，得到線段為準圓的直徑，得到答案.

（1），橢圓方程為，準圓方程為.

（2）（�。┮驗闇蕡A與軸正半軸的交點為，

設過點且與橢圓相切的直線為，

所以由得.

因為直線與橢圓相切，所以，解得，

所以方程為，，.

（ⅱ）①當直線中有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，

則：，當：時，與準圓交于點，

此時為（或），顯然直線垂直；

同理可證當：時，直線垂直

②當斜率存在時，設點，其中.

設經(jīng)過點與橢圓相切的直線為，

所以由得.

由化簡整理得，

因為，所以有.

設的斜率分別為，因為與橢圓相切，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.

綜合①②知：因為經(jīng)過點，又分別交其準圓于點，且垂直.

所以線段為準圓的直徑，，

所以線段的長為定值6.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年全國“兩會”，即中華人民共和國第十三屆全國人大二次會議和中國人民政治協(xié)商會議第十三屆全國會第二次會議，分別于2019年3月5日和3月3日在北京召開．為了了解哪些人更關注“兩會”，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在歲之間的200人進行調(diào)查，并按年齡繪制出頻率分布直方圖，如圖．

若把年齡在區(qū)間，內(nèi)的人分別稱為“青少年”“中老年”．經(jīng)統(tǒng)計“青少年”和“中老年”的人數(shù)之比為．其中“青少年”中有40人關注“兩會”，“中老年”中關注“兩會”和不關注“兩會”的人數(shù)之比為．

（1）求圖中的值．

（2）現(xiàn)采用分層抽樣在和中隨機抽取8人作為代表，從8人中任選2人，求2人都是“中老年”的概率．

（3）根據(jù)已知條件，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有％的把握認為“中老年”比“青少年”更加關注“兩會”．

關注

不關注

總計

“青少年”

“中老年”

總計

附：，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.

（1）當a＝1，b＝1時，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）若f（x）的最小值為2，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表：

黃赤交角

正切值

0.439

0.444

0.450

0.455

0.461

年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是( )

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學長期堅持貫徹以人為本，因材施教的教育理念，每年都會在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”和“語文素養(yǎng)能力測試”兩項測試，以給學生課外興趣學習及輔導提供參考依據(jù)．成績分為，，，，五個等級（等級，，，，分別對應5分，4分，3分，2分，1分）．某班學生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“語文素養(yǎng)能力測試”科目的成績?yōu)?/span>的考生有3人．

（1）求該班“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”的科目平均分以及“數(shù)學素養(yǎng)能力測試”科目成績?yōu)?/span>的人數(shù)；

（2）若該班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．從這9人中隨機抽取三人，設三人的成績之和為，求．

（3）從該班得分大于7分的9人中選3人即甲，乙，丙組隊參加學校內(nèi)的“數(shù)學限時解題挑戰(zhàn)賽”．規(guī)則為：每隊首先派一名隊員參加挑戰(zhàn)賽，在限定的時間，若該生解決問題，即團隊挑戰(zhàn)成功，結(jié)束挑戰(zhàn)；若解決問題失敗，則派另外一名隊員上去挑戰(zhàn)，直至派完隊員為止．通過訓練，已知甲，乙，丙通過挑戰(zhàn)賽的概率分別是，，，問以怎樣的先后順序派出隊員，可使得派出隊員數(shù)目的均值達到最��？（只需寫出結(jié)果）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項，及前項和

（Ⅱ）請你在數(shù)列的前4項中選出三項，組成公比的絕對值小于1的等比數(shù)列的前3項，并記數(shù)列的前n項和為．若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，試求的最小值．

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【題目】已知橢圓的標準方程是，設是橢圓的左焦點，為直線上任意一點，過做的垂線交橢圓于點，.

（1）證明：線段平分線段（其中為坐標原點）；

（2）當最小時，求點的坐標.

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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若射線（）與直線和曲線分別交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若存在，且當時，，證明：．

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