Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接，取中點(diǎn)，連接，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，從而推出平面，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合判定定理可使問題得證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，由此求得平面與平面的法向量，從而利用空間夾角公式求解.

試題解析：連接AC，則△ABC和△ACD都是正三角形，取BC中點(diǎn)E，連接AE，PE，

因?yàn)?/span>E為BC的中點(diǎn)，所以在△ABC中，，

因?yàn)?/span>PB＝PC，所以BC⊥PE，

又因?yàn)?/span>PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，

又PA平面PAE，所以BC⊥PA.

同理CD⊥PA，

又因?yàn)?/span>BC∩CD＝C，所以PA⊥平面ABCD. …6

（2）如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則B(，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(－，3，0)，

設(shè)平面PBD的法向量為m＝(x，y，z)，則即

取平面PBD的法向量m＝(，1，1)， …9分

取平面PAD的法向量n＝(1，0，0)，則cosm，n＝＝，

所以二面角A-PD-B的余弦值是. …12分