Question

在銳角△ABC中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（cos2B，cosB），且

m

，

n

向量共線．
（1）求角B的大��；
（2）如果b=1，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據共線向量的坐標滿足的關系得到一個關系式，利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，即可求出tan2B的值，然后由銳角B的范圍求出2B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由b，cosB的值，利用余弦定理及基本不等式即可求出ac的最大值，根據三角形的面積公式進而得到三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由

m

，

n

向量共線得到：2sinBcosB=

3

cos2B，即tan2B=

3

，
由B∈（0，

π

2

）得到：2B∈（0，π），
所以2B=

π

3

，即B=

π

6

；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即1=a²+c²-

3

ac≥2ac-

3

ac，當且僅當a=c時取等號，
所以ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
則S_△ABC=

1

2

acsinB≤

2+ 3

4

，即S_△ABC的最大值為

2+ 3

4

．

點評：此題考查學生掌握向量關系時滿足的條件，靈活運用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．