Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD=3cm現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BD（不包括點(diǎn)B、D）上移動(dòng)時(shí)，
設(shè)△EDQ的面積為y（cm²），求y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）通過△AEP∽△ADC，列出比例關(guān)系，即可用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度；
（2）Q在BD上運(yùn)動(dòng)x秒后，求出DQ、CP，即可表示y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）通過∠EQP=90°，∠QED=90°，分別通過三角形相似，列出比例關(guān)系，求出x的值，說(shuō)明△EDQ為直角三角形．

解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC，
∴

EA

AD

=

AP

AC

即

EA

5

=

x

4

，∴EA=

5

4

x，DE=5-

5

4

x…（3分）
（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，
當(dāng)點(diǎn)Q在BD上運(yùn)動(dòng)x秒后，DQ=2-1.25x，
則y=

1

2

×DQ×CP=

1

2

(4-x)(2-1.25x)=

5

8

 x2-

7

2

x+4…（6分）
即y與x的函數(shù)解析式為：y=

5

8

x2-

7

2

x+4，其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6．
（3）分兩種情況討論：
①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，DQ=1.25x-2
即

4-x

4

=

1.25x-2

3

…解得x=2.5…（9分）

②當(dāng)∠QED=90°時(shí)，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴

DQ

DA

=

Rt△EDQ斜邊上的高

Rt△CDA斜邊上的高

，
Rt△EDQ斜邊上的高：4-x，
Rt△CDA斜邊上的高為：

12

5

．

∴

1.25x-2

5

=

5(4-x)

12

，
解得x=3.1．
綜上所述，當(dāng)x為2.5秒或3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，借助三角形考查函數(shù)的應(yīng)用，以及三角形相似的性質(zhì)，注意分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．