（2012•紹興一模）如圖，在直角三角形OAB中，P，Q是斜邊AB的兩個三等分點，已知|
OP
|=sinα，且|
OQ
|=cosα(0＜α＜
π
2
)．
（1）若2sinα+cosα=
11
5
，求tanα的值；
（2）試判斷|
AB
|是否為定值，并說明理由；
（3）求△OPQ的面積S的最大值．
分析：（1）將sin2α+cos2α=1和已知條件聯(lián)立，轉化成一元二次方程，解方程求出sinα和cosα，即可求出tanα的值；
（2）根據(jù)sin2α+cos2α=1以及|
OP
|=
OA
+
1
3
AB
，
OQ
=
OB
-
1
3
AB
將其化簡即可得出結論；
（3）作OC⊥AB于C，列出三角形的面積，然后根據(jù)均值不等式得出答案．
解答：解：（1）
2sinα+cosα=
11
5
sin2α+cos2α=1
，消去cosα得5sin2α-
44
5
sinα+
96
25
=0，…（2分），即(5sinα-4)(sinα-
24
25
)=0，⇒
sinα=
4
5
cosα=
3
5
，或
sinα=
24
25
cosα=
7
25
得tanα=
4
3
或
24
7
．…（5分）
（2）1=sin2α+cos2α=|
OP
|2+|
OQ
|2=(
OA
+
1
3
AB
)2+(
OB
-
1
3
AB
)2=
OA
2+
OB
2+
2
9
AB
2+
2
3
AB
•(
OA
-
OB
)=
AB
2(1+
2
9
-
2
3
)=
5
9
AB
2
所以，|
AB
|=
3
5
5
為為定值．…（6分）
（3）作OC⊥AB于C，則△OPQ的面積為S=
1
2
|PQ||OC|=
1
6
|AB||OC|=
1
6
ab≤
1
6
•
a2+b2
2
=
3
20
（當a=b時取等號）…（4分）
點評：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關系以及三角函數(shù)與向量的結合問題，綜合性較強，有一定難度．
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a (a≤b)
b (a＞b)
，例如，1*2=1，則函數(shù)f（x）=x2*（1-|x|）的最大值為
3-
5
2
3-
5
2
．

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π
6
)=
1
3
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2π
3
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a
、
b
、
c
是三個非零向量，且
a
、
b
不共線，若關于x的方程
a
x2+
b
x+
c
=
0
的兩個根為x1，x2，則（　�。�

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