Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

3

+y2=1．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m）．
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點(diǎn)；
（ii）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)y=kx+t（k＞0），聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和OE所在直線方程，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用基本不等式即可求得m²+k²的最小值；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知OD所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，并代入若|OG|²=|OD|?|OE|，得到t=k，因此得證直線過定點(diǎn)；
     （ii）若點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對稱，寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出△ABG的外接圓的圓心坐標(biāo)和半徑，從而求出△ABG的外接圓方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)y=kx+t（k＞0），
由題意，t＞0，由方程組

y=kx+t x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
由題意△＞0，
所以3k²+1＞t²，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-

6kt

3k2+1

，所以y₁+y₂=

2t

3k2+1

，
∵線段AB的中點(diǎn)為E，∴x_E=-

3kt

3k2+1

，y_E=

t

3k2+1

，
此時(shí)k_OE=

yE

xE

=-

1

3k

．
所以O(shè)E所在直線方程為y=-

1

3k

x，
又由題設(shè)知D（-3，m）．
令x=-3，得m=

1

k

，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（Ⅱ）（i）證明：由（Ⅰ）知OD所在直線方程為y=-

1

3k

x，
將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得G（-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

），
又E（-

3kt

3k2+1

，

t

3k2+1

），D（-3，

1

k

），
由距離公式和t＞0，得
|OG|²=（-

3k

3k2+1

）²+（

1

3k2+1

）²=

9k2+1

3k2+1

，
|OD|=

9+ 1 k2

=

9k2+1

k

，
|OE|=

(- 3kt 3k2+1 )2+( t 3k2+1 )2

=

t 9k2+ 1

3k2+1

．
由|OG|²=|OD|?|OE|，
得t=k，
因此直線l的方程為y=k（x+1），
所以直線l恒過定點(diǎn)（-1，0）；
（ii）由（i）得G（-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

），
若點(diǎn)B，G關(guān)于x軸對稱，則B（-

3k

3k2+1

，-

1

3k2+1

），
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=k（x+1），
整理得3k2-1=k

3k2+1

，
即6k⁴-7k²+1=0，解得k²=

1

6

或k²=1，
驗(yàn)證知k²=

1

6

時(shí)，3k2-1=k

3k2+1

不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此時(shí)B（-

3

2

，-

1

2

），G（-

3

2

，

1

2

）關(guān)于x軸對稱，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以點(diǎn)A（0，1），
由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)△ABG的外接圓的圓心為（d，0），
因此d²+1=（d+

3

2

）²+

1

4

，解得d=-

1

2

，
故△ABG的外接圓的半徑為r=

d2+1

=

5

2

，
所以△ABG的外接圓方程為(x+

1

2

)2+y2=

5

4

．

點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓的定義、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．其中問題（III）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，