Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為

 

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Answer 1

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)f（x）的奇偶性得到函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、還有g(shù)（0）=0，再通過奇偶性進行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式得解集．

解答：解：設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=[xf（x）]′=x′f（x）+xf′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（2）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（x）＜0化為g（x）＜0，
∵對于偶函數(shù)g（x），有g(shù)（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式為g（|x|）＜g（2），
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴|x|＜2且x≠0，解得-2＜x＜2且x≠0，
故所求的解集為{x|-2＜x＜2且x≠0}．
故答案為：{x|-2＜x＜2且x≠0}．

點評：本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對不等式進行轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)值為零的自變量的取值．