Question

閱讀下面給出的定義與定理：
①定義：對(duì)于給定數(shù)列{x_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p、q，使得x_n+1=px_n+q 對(duì)于任意n∈N₊都成立，我們稱數(shù)列{x_n}是“線性數(shù)列”．
②定理：“若線性數(shù)列{x_n}滿足關(guān)系x_n+1=px_n+q，其中p、q為常數(shù)，且p≠1，p≠0，則數(shù)列{xn-

q

1-p

}是以p為公比的等比數(shù)列．”
（Ⅰ）如果a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N₊，利用定義判斷數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“線性數(shù)列”？若是，分別指出它們對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）如果數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)于任意的n∈N^*，都有S_n=2c_n-3n，
①利用定義證明：數(shù)列{c_n}為“線性數(shù)列”；
②應(yīng)用定理，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
③求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用“線性數(shù)列”的定義逐個(gè)判斷即可；
（Ⅱ）①n≥2時(shí)，S_n+1=2c_n+1-3（n+1），S_n=2c_n-3n，兩式相減可得遞推式，根據(jù)遞推式借助“線性數(shù)列”的定義可作出判斷；②按照定理可判斷{c_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，易求c_n+3，從而可求c_n；③利用分組求和可求得S_n．

解答：解：（I）∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，n∈N^*，
故數(shù)列{a_n}是“線性數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q分別為1，2．
∵b_n=3•2ⁿ，∴b_n+1=2b_n，n∈N^*，
故數(shù)列{b_n}是“線性數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q分別為2，0；
（II）①令n=1，則S₁=2c₁-3．∴c₁=3，
又n≥2時(shí)，S_n+1=2c_n+1-3（n+1），S_n=2c_n-3n，兩式相減得，c_n+1=2c_n+1-2c_n-3，
則c_n+1=2c_n+3，n=1時(shí)也成立，
∴c_n+1=2c_n+3，
故數(shù)列{c_n}為“線性數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q分別為2，3；
②按照定理：p=2，q=3，∴

q

1-p

=-3，
∴{c_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，
則c_n+3=（c₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，
∴c_n=6•2^n-1-3．
③由②得，S_n=6（1+2+2²+…+2^n-1）-3n
=6×

1-2n

1-2

-3n=6（2ⁿ-1）-3n=6•2ⁿ-3n-6，
故S_n=6•2ⁿ-3n-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和、由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，考查新定義，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力，本題要認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意．