Question

已知曲線y=

2

ex+1

，則曲線的切線斜率取得最小值時的切線被圓C：x²+y²=4截得的弦長等于（　�。�

• A．

  4 5

  5

• B．

  2 5

  5

• C．

  8 5

  5

• D．

  6 5

  5

Answer 1

分析：由求導公式和法則求出導數(shù)并化簡，再由e^x＞0和基本不等式，求出導數(shù)的最小值和切點坐標，代入點斜式方程并化為一般式，由點到直線的距離公式求出圓心到切線的距離，再代入弦長公式求出即可．

解答：解：由題意得，y′=

-2(ex+1)′

(ex+1)2

=

-2ex

(ex+1)2

=

-2

ex+ 1 ex +2

，
∵e^x＞0，∴ex+

1

ex

≥2

ex× 1 ex

=2，當且僅當ex=

1

ex

時取等號，此時x=0，
∴ex+

1

ex

+2≥4，則y′=

-2

ex+ 1 ex +2

≥-

1

2

，當x=0時取等號，
∴當x=0時，曲線的切線斜率取最小值-

1

2

，則切點的坐標（0，1），
∴切線的方程是：y-1=-

1

2

（x-0），即x+2y-2=0，
圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到切線的距離是

|-2|

1+4

=

2 5

5

，
∴切線被圓C：x²+y²=4截得的弦長為2×

22-( 2 5 5 )2

=

8 5

5

，
故選C．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，基本不等式求最值問題，點到直線的距離公式和弦長公式等，考查了的知識點多，但是難度不大，需要熟練掌握公式并會運用．