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如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線的焦點．

(Ⅰ)試求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l∶y＝kx＋t(k≠0，t≠0)與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

答案：
解析：

　　解析：(Ⅰ)橢圓的離心率為　1分

　　拋物線的焦點為．　2分

　　設橢圓的方程為，

　　由題意，得：　，解得，

　　∴橢圓的標準方程為 ．　5分

　　(Ⅱ)解法一：橢圓與橢圓是相似橢圓．　6分

　　聯立橢圓和直線的方程，，消去，

　　得，　7分

　　設的橫坐標分別為，則．　8分

　　設橢圓的方程為，　9分

　　聯立方程組，消去，得，

　　設的橫坐標分別為，則．　10分

　　∵弦的中點與弦的中點重合，　11分

　　∴，，

　　∵，∴化簡得，　11分

　　求得橢圓的離心率，　12分

　　∴橢圓與橢圓是相似橢圓．

　　解法二：設橢圓的方程為，

　　并設．

　　∵在橢圓上，

　　∴且，兩式相減變恒等變形得．　7分

　　由在橢圓上，仿前述方法可得．　10分

　　∵弦的中點與弦的中點重合，

　　∴，　12分

　　求得橢圓的離心率，　10分

　　∴橢圓與橢圓是相似橢圓．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-c，0），點A（-a，0）和B（0，b）是橢圓的兩個頂點，如果F1到直線AB的距離為
b
7
，則橢圓的離心率e=
1
2
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：
x2
8
+
y2
4
=1相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線y=
1
4
x2的焦點．
（Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年甘肅省高三上學期期末考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓與橢圓相似，且橢圓的一個短軸端點是拋物線的焦點.

（Ⅰ）試求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線與橢圓交于兩點，且與橢圓交于兩點.若線段與線段的中點重合，試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓？并證明你的判斷.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省泉州市高三第二次質量檢測數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線的焦點．
（Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

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