Question

（2009•武昌區(qū)模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的中心、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點(diǎn)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知

b=c 1 2 bc=1

解得b，c，從而a=2．最后寫出橢圓方程；
（2）可設(shè)直線AM的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，再利用向量垂直即可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀，從而解決問題．

解答：解：（1）由題意知

b=c 1 2 bc=1

解得b=c=

2

，從而a=2．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1（4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可設(shè)直線AM的方程為y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直線AM代入橢圓方程x²+2y²=4，
得 （1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）
∴x1(-2)=

8k2-4

2k2+1

，
∴x₁=

2-4k2

2k2+1

，
∴P（

2-4k2

2k2+1

，

4k2

2k2+1

），
設(shè)C（x₀，0），且x₀≠-2，以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點(diǎn)，則
MC⊥BP，∴

MC

•

BP

=0，即：（2-x₀）

-8k2

2k2+1

+4k

4k

2k2+1

=

8k2

2k2+1

x 0=0，
∴x₀=0，
故存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系、考查存在性問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．