Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中：
①y=f（x）為偶函數(shù)，則y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②y=f（x+2）為偶函數(shù)，則y=f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
③若f（x-2）=f（2-x），則y=f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
④y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
其中正確命題序號(hào)有    ．（填上所有正確命題序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移兩個(gè)單位后得到f（x+2）的圖象（將函數(shù)f（x+2）的圖象向右平移兩個(gè)單位后得到f（x）的圖象），根據(jù)函數(shù)圖象的平移，對(duì)稱軸也跟著平移的原則，可對(duì)①②進(jìn)行判斷．對(duì)于③，將x-2看成整體，可得f（x）是偶函數(shù)，從而其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；對(duì)于④從兩個(gè)函數(shù)的形式上可以看出，此兩函數(shù)都是抽象函數(shù)，可以分別看作函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了兩個(gè)單位而得到，由此問(wèn)題變化為研究f（x）與y=f（-x）的圖象的對(duì)稱性，再由平移規(guī)律得出函數(shù)y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象的對(duì)稱軸即可．
解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移兩個(gè)單位后得到f（x+2）的圖象
故f（x+2）的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，①不正確；
反之當(dāng)f（x+2）是偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱
將函數(shù)f（x+2）的圖象向右平移兩個(gè)單位后得到f（x）的圖象
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，②正確；
對(duì)于③，將x-2看成整體，可得f（t）=f（-t），從而f（x）是偶函數(shù)，從而其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；故③錯(cuò)；
④：∵f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱
又函數(shù)y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了個(gè)單位而得到，
∴函數(shù)y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，正確．
故答案為：②④．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性、奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換，考查根據(jù)已知函數(shù)圖象的性質(zhì)來(lái)判斷與之相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的能力，即圖象變換的能力，其中正確理解函數(shù)圖象的平移，對(duì)稱軸也跟著平移的原則，是解答本題的關(guān)鍵．