【題目】過(guò)拋物線外一點(diǎn)M作拋物線的兩條切線,兩切點(diǎn)的連線段稱(chēng)為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦已知拋物線為,點(diǎn)P,Q在直線l:上,過(guò)P,Q兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦分別為AB,CD
當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí),直線AB是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn),若有,請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由
當(dāng)時(shí),點(diǎn)P,Q在什么位置時(shí),取得最小值?
【答案】(1)直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ;(2)當(dāng),時(shí),取得最小值4.
【解析】
設(shè),,,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分別求出直線PA,PB的方程可得,可得直線AB的方程進(jìn)而求出定點(diǎn).
設(shè),,根據(jù)可得,妨設(shè),則,且,,根據(jù)基本不等式即可求出.
解:設(shè),,,
則,,
拋物線的方程可變形為,則,
直線PA的斜率為,
直線PA的方程,化簡(jiǎn),
同理可得直線PB的方程為,
由可得,
直線AB的方程為,則是方程的解,
直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
設(shè),,
由可知,,
,
,即,
,異號(hào),
不妨設(shè),則,且,
,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),
即當(dāng),時(shí),取得最小值4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知五邊形ABECD有一個(gè)直角梯形ABCD與一個(gè)等邊三角形BCE構(gòu)成,如圖1所示,,且,將梯形ABCD沿著BC折起,形成如圖2所示的幾何體,且平面BEC.
求證:平面平面ADE;
求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=1,AC=CD=DA=2,動(dòng)點(diǎn)M在邊DC上(不同于D點(diǎn)),P為邊AB上任意一點(diǎn),沿AM將△ADM翻折成△AD'M,當(dāng)平面AD'M垂直于平面ABC時(shí),線段PD'長(zhǎng)度的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)和是關(guān)于的方程的兩個(gè)虛數(shù)根,若、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,那么實(shí)數(shù)_______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是,,點(diǎn)在橢圓上,過(guò)該橢圓上任意一點(diǎn)P作軸,垂足為Q,點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(3)設(shè)直線(C點(diǎn)不同A、B)與直線交于R,D為線段的中點(diǎn),證明:直線與曲線E相切;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)、直線,我們稱(chēng)為點(diǎn)到直線的方向距離.
(1)設(shè)雙曲線上的任意一點(diǎn)到直線,的方向距離分別為,求的值;
(2)設(shè)點(diǎn)、到直線的方向距離分別為,試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意的都有成立?說(shuō)明理由;
(3)已知直線和橢圓,設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的方向距離分別為滿足,且直線與軸的交點(diǎn)為、與軸的交點(diǎn)為,試比較的長(zhǎng)與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓的方程為,圓的方程為,若動(dòng)圓與圓內(nèi)切,與圓外切.
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別是,,若直線與軌跡交于,兩點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn),設(shè)為該圓的圓心,并且線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, ,點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線分別交(1)中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)(四點(diǎn)互不相同),證明:直線恒過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:,過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),直線與曲線分別交于、兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求線段的長(zhǎng)和的積.
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