【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2﹣ax,a∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=e,解不等式:f(x)<2;
(3)求證:當a>4時,函數(shù)y=f(x)只有一個零點.

【答案】
(1)解:由f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=2lnx+x2﹣ax,f′(x)= +2﹣a,

由題意,對任意的x>0,都有f′(x)= +2﹣a≥0,

只要( +2x)min≥a,由 +2x≥2 =4,當且僅當x=1時取等號,

則a≤4,

∴實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,4];


(2)當a=e,f(x)=2lnx+x2﹣ex,f′(x)= +2﹣e= >0,

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

由f(e)=2lne+e2﹣e2=2,

∴f(x)<2,則f(x)<f(e),

∴0<x<e,

故不等式f(x)<2的解集為(0,e);


(3)證明:由f′(x)= +2﹣a= ,x∈(0,+∞),

g(x)=2x2﹣ax+2,當a>4時,△=a2﹣16>0,

∴g(x)=2x2﹣ax+2一定有兩個零點,

設x1,x2(x1<x2),x1x2=1,

0<x1<1<x2,

則f(x)在區(qū)間(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,

g(x1)=2x12﹣ax1+2=0,

∴f(x1)=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2,

由0<x1<1,則f(x1)=2lnx1+x12﹣ax1<2ln1+1﹣2<0,

∴f(x2)<f(x1)<0,

由f(x)=2lnx+x(x﹣a),則f(a)=2lna>0,

∴f(x)在(0,+∞)上只有一個零點.


【解析】(1)將函數(shù)在定義域上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導數(shù)函數(shù)的不等式,再利用基本不等式求得a的取值范圍;(2)求得函數(shù)值為2的自變量,進而將函數(shù)值的大小比較利用函數(shù)的單調(diào)性變?yōu)樽宰兞康拇笮”容^,從而求得所給不等式的解集;(3)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上只有一個零點,那么f(x)在定義域分成的兩個連續(xù)的區(qū)間內(nèi)分別大于0和小于0.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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