【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2﹣ax,a∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=e,解不等式:f(x)<2;
(3)求證:當a>4時,函數(shù)y=f(x)只有一個零點.
【答案】
(1)解:由f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=2lnx+x2﹣ax,f′(x)= +2﹣a,
由題意,對任意的x>0,都有f′(x)= +2﹣a≥0,
只要( +2x)min≥a,由 +2x≥2 =4,當且僅當x=1時取等號,
則a≤4,
∴實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,4];
(2)當a=e,f(x)=2lnx+x2﹣ex,f′(x)= +2﹣e= >0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
由f(e)=2lne+e2﹣e2=2,
∴f(x)<2,則f(x)<f(e),
∴0<x<e,
故不等式f(x)<2的解集為(0,e);
(3)證明:由f′(x)= +2﹣a= ,x∈(0,+∞),
g(x)=2x2﹣ax+2,當a>4時,△=a2﹣16>0,
∴g(x)=2x2﹣ax+2一定有兩個零點,
設x1,x2(x1<x2),x1x2=1,
0<x1<1<x2,
則f(x)在區(qū)間(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,
g(x1)=2x12﹣ax1+2=0,
∴f(x1)=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2,
由0<x1<1,則f(x1)=2lnx1+x12﹣ax1<2ln1+1﹣2<0,
∴f(x2)<f(x1)<0,
由f(x)=2lnx+x(x﹣a),則f(a)=2lna>0,
∴f(x)在(0,+∞)上只有一個零點.
【解析】(1)將函數(shù)在定義域上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導數(shù)函數(shù)的不等式,再利用基本不等式求得a的取值范圍;(2)求得函數(shù)值為2的自變量,進而將函數(shù)值的大小比較利用函數(shù)的單調(diào)性變?yōu)樽宰兞康拇笮”容^,從而求得所給不等式的解集;(3)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上只有一個零點,那么f(x)在定義域分成的兩個連續(xù)的區(qū)間內(nèi)分別大于0和小于0.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AB1⊥BC,且AA1=AB.
(1)求證:AB∥平面D1DCC1;
(2)求證:AB1⊥平面A1BC.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣ax, .
(Ⅰ)當b=1時,求g(x)的最大值;
(Ⅱ)若對x∈[0,+∞),f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)證明 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著,體現(xiàn)了古代勞動人民的數(shù)學智慧,其中第六章“均輸”中,有一竹節(jié)容量問題,某人根據(jù)這一思想,設計了如圖所示的程序框圖,若輸出m的值為35,則輸入的a的值為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系xOy中,橢圓C: 的離心率是 ,
拋物線E:x2=4y的焦點F是C的一個頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設與坐標軸不重合的動直線l與C交于不同的兩點A和B,與x軸交于點M,且 滿足kPA+kPB=2kPM , 試判斷點M是否為定點?若是定點求出點M的坐標;若不是定點請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且 ,AD=CD=1.
(1)求證:BD⊥AA1;
(2)若E為棱BC的中點,求證:AE∥平面DCC1D1 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,且D,E分別是棱A1B1 , A1A1的中點,點F在棱AB上,且AF= AB.
(1)求證:EF∥平面BDC1;
(2)求三棱錐D﹣BEC1的體積.
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