(湖南卷理20)若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí),點(diǎn)Px,0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.

(I)證明:點(diǎn)Px0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;

(II) 試問(wèn):點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解: (I)設(shè)AB為點(diǎn)P(x0,0)的任意一條“相關(guān)弦”,且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是

x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),則y21=4x1, y22=4x2,

兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因?yàn)?i>x1x2,所以y1+y20.

設(shè)直線AB的斜率是k,弦AB的中點(diǎn)是Mxm, ym),則k=.從而AB的垂直平分線l的方程為

又點(diǎn)P(x0,0)在直線上,所以

于是故點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直線的方程是,代入中,

整理得     (·)

是方程(·)的兩個(gè)實(shí)根,且

設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l,則

   

因?yàn)?<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x0-8).

l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.

若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時(shí), l有最大值2(x0-1).

若2<x0<3,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間(0,4 x0-8)上是減函數(shù),

所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.

綜上所述,當(dāng)x0>3時(shí),點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值,且最大值

為2(x0-1);當(dāng)2< x03時(shí),點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.

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(湖南卷理20)若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn),弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí),點(diǎn)Px,0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.

(I)證明:點(diǎn)Px0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;

(II) 試問(wèn):點(diǎn)P(x0,0)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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