Question

已知|m|＜1，直線l₁：y=mx+1，l₂：x=-my+1，l₁與l₂相交于點P，l₁交y軸于點A，l₂交x軸于點B
（1）證明：l₁⊥l₂；
（2）用m表示四邊形OAPB的面積S，并求出S的最大值；
（3）設(shè)S=f（m），求U=S+

1

S

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)斜率之積等于-1，可得故l₁⊥l₂．
（2）根據(jù)四邊形OAPB為圓內(nèi)接四邊形，由四邊形OAPB的面積S等于兩個直角三角形OAB和APB的面積之和，
三角形OAB的面積易求，把l₁與l₂相的方程聯(lián)立方程組可解得點P坐標，再求出點P到 AB 的距離，APB的面積
可求．
（3）由函數(shù)的導數(shù)大于0，可得此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．

解答：解：（1）由題意知，m≠0，l₁與l₂的斜率分別為 m，

1

-m

，斜率之積等于-1，故l₁⊥l₂．
（2）由題意知，A（0，1），B（1，0），AB=

2

，四邊形OAPB為圓內(nèi)接四邊形（有一組對角互補且都是直角），
把l₁與l₂相的方程聯(lián)立方程組可解得點P（

1-m

1+m2

，

1+m

1+m2

），AB 的方程為x+y-1=0，
點P到 AB 的距離為

| 1-m 1+m2 + 1+m 1+m2 -1|

2

=

1-m2

2 (1+m2)

，
 由四邊形OAPB的面積S等于兩個直角三角形OAB和APB的面積之和，
∴S=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×

1-m2

2 (1+m2)

=

1

2

+

1-m2

2(1+m2)

=

1

1+m2

，
故 m=0 時，S有最大值為 1．
（3）U=S+

1

S

=

1

1+m2

+（1+m²），|m|＜1，U的導數(shù)U′=

-2m

1+m2

+2m=2m（1-

1

1+m2

）＞0，
∴U 在其定義域（-1，1）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．

點評：本題考查兩直線垂直的條件，用分割法求四邊形的面積，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．