Question

【題目】已知函數(shù)，．若函數(shù)的圖象在點處的切線與的圖象也相切．

（1）求的方程和的值；

（2）設不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）求導，再求得，寫出切線的方程，設直線與的圖象相切于點，，由求解.

（2）將不等式，對任意的恒成立，轉化為，對任意的恒成立，記，用導數(shù)法求其最小值，由求解.

（1），

所以，

故切線的方程為，

即：，

設直線與的圖象相切于點，，

由題意可得，解得．

（2）由，得不等式為，

等價于不等式，

記，

，

令得或．

①當時，（舍去），所以．

當時，，當時，，

所以恒成立，

故，此時的取值范圍是．

②當時，，

當時，，當時，，當時，，

所以，即，

解得，可得此時的取值范圍是．

綜合①②可知，

所以實數(shù)的取值范圍是．