Question

【題目】設函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關于的不等式在（0，+）上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;（2）

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的解析式得其定義域為.. 因為曲線在點處的切線方程為，所以,,聯(lián)立可得解方程組可得. 所以， .分別解不等式與，可得單調(diào)遞減與遞增區(qū)間。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，因為，所以對任意，不等式恒成立.考慮函數(shù)的單調(diào)性。因為。當時，對任意恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增.于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；當函數(shù)為減函數(shù)時， ，即恒成立時，函數(shù)單調(diào)遞減，構(gòu)造函數(shù)， 大于函數(shù)的最大值，求導數(shù)判斷單調(diào)性，對任意，所以，即，符合題意；當時，構(gòu)造函數(shù)，二次求導，令得 ，因為，所以。所以當時， ，此時單調(diào)遞增，所以 ，故當時，函數(shù)單調(diào)遞增.于是當時， 成立，不符合題意；綜合上面三種情況可得所求。

試題解析：解：（1）函數(shù)的定義域為.

.

依題意得， ，即

所以.

所以， .

當時， ；當時， .

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）設函數(shù)，故對任意，不等式恒成立.

又，當，即恒成立時，

函數(shù)單調(diào)遞減，設，則，

所以，即，符合題意；

當時， 恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增.

于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；

當時，設，

則 ；

當時， ，此時單調(diào)遞增，

所以 ，

故當時，函數(shù)單調(diào)遞增.

于是當時， 成立，不符合題意；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為： .