【題目】某種水箱用的浮球是由兩個(gè)相同半球和一個(gè)圓柱筒組成,它的軸截面如圖所示,已知半球的直徑是,圓柱筒高,為增強(qiáng)該浮球的牢固性,給浮球內(nèi)置一雙蝶形防壓卡,防壓卡由金屬材料桿,,,,,焊接而成,其中,分別是圓柱上下底面的圓心,,均在浮球的內(nèi)壁上,AC,BD通過浮球中心,且、均與圓柱的底面垂直.

1)設(shè)與圓柱底面所成的角為,試用表示出防壓卡中四邊形的面積,并寫出的取值范圍;

2)研究表明,四邊形的面積越大,浮球防壓性越強(qiáng),求四邊形面積取最大值時(shí),點(diǎn)到圓柱上底面的距離

【答案】(1),其中的取值范圍是(2)四邊形面積取最大值時(shí),點(diǎn)到圓柱上底面的距離為.

【解析】

1)先證明,又因?yàn)?/span>,則四邊形是梯形,用與圓柱底面所成的角來表示梯形的上底、下底和高,根據(jù)梯形面積公式即可求得四邊形面積;

(2)由(1)得四邊形面積的解析式,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,求出極值點(diǎn),由此得出點(diǎn)到圓柱上底面的距離.

解:(1)因?yàn)?/span>分別是圓柱上、下底面的圓心,所以與圓柱的底面垂直;

因?yàn)?/span>與圓柱的底面垂直,所以;

在梯形中, , ,

設(shè)梯形的高

所以梯形的面積為

其中的取值范圍是;

2)由(1)得,

,

,解得 (不合題意,舍去);

,所以

列表如下;

所以當(dāng)時(shí), 取得極大值,即是最大值,此時(shí)

所以四邊形面積取最大值時(shí),點(diǎn)到圓柱上底面的距離為

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