Question

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，一條直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₁與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求△ABF₂的周長(zhǎng)；
（2）若l的傾斜角為，求△ABF₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長(zhǎng)=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導(dǎo)出△ABF₂的周長(zhǎng)．
（2）由F₁（-1，0），AB的傾斜角為，知直線AB的方程為y=x+1．由消去x，得7y²-6y-9=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達(dá)定理能夠求出△ABF₂的面積．
解答：解：（1）由橢圓的定義，
得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，
又AF₁+BF₁=AB，
所以，△ABF₂的周長(zhǎng)=AB+AF₂+BF₂=4a．
又因?yàn)閍²=4，
所以a=2，
故△ABF₂的周長(zhǎng)為8．（6分）
（2）由條件，得F₁（-1，0），
因?yàn)锳B的傾斜角為，所以AB斜率為1，
故直線AB的方程為y=x+1．（8分）
由，
消去x，得7y²-6y-9=0，（10分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解得．
所以（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形周長(zhǎng)的求法和三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，注意橢圓定義、韋達(dá)定理在解題中的合理運(yùn)用．