Question

已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩個短軸端點(diǎn)和左右焦點(diǎn)所組成的四邊形是面積為2的正方形，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△OAB面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為，由已知得出關(guān)于a，b的方程組，解之即得a，b的值，從而寫出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：設(shè)橢圓方程為，
（1）由已知得
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程組消去y得關(guān)于x得：方程（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，
則有△＞0⇒64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，解得或
由韋達(dá)定理得：
故
=
又因?yàn)樵�點(diǎn)O到直線l的距離，
故
令（m＞0），則2k²=m²+3，所以S=
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時，，此時，滿足題意，
∴直線l的方程為，或．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計算弦長（即應(yīng)用弦長公式）；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化   同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．