Question

已知函數(shù)（,）.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為，.時(shí), 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，;單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅲ）          

試題分析：（Ⅰ））利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在處切線的斜率為即為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240457278771130.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，.，又，則曲線在處切線的方程為. （Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，需明確定義域，再導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間. （1）若，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，即和時(shí)，函數(shù)為減函數(shù). 若，當(dāng)，即和時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).（Ⅲ）不等式恒成立問(wèn)題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題. 當(dāng)時(shí)，要使恒成立，即使在時(shí)恒成立. 設(shè)，易得，從而.
（Ⅰ）,.
當(dāng)時(shí)，.
依題意，即在處切線的斜率為.
把代入中，得.
則曲線在處切線的方程為.           .4分
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045727986584.png" style="vertical-align:middle;" />.
.
（1）若，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)，即和時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).
（2）若，
當(dāng)，即和時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).
綜上所述，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為，.
時(shí), 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，;單調(diào)減區(qū)間為.        .9分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，要使恒成立，即使在時(shí)恒成立. 設(shè)，則.可知在時(shí)，，為增函數(shù)；
時(shí)，，為減函數(shù).則.從而.
另解：(1)當(dāng)時(shí)，，所以不恒成立.
(2)當(dāng)且時(shí)，由（Ⅰ）知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.所以函數(shù)的最小值為，依題意，
解得.
綜上所述，．                                     .13分