Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，2)，且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值為最小時(shí)的直線l的方程.

Answer 1

解析:本題可以使用直線的普通方程來(lái)解，也可以使用參數(shù)方程來(lái)解，但是使用普通方程解，運(yùn)算較為麻煩.如果設(shè)出直線的傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程來(lái)解，就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最小值問(wèn)題，便于計(jì)算.

解:設(shè)直線的傾斜角為α，則它的方程為(t為參數(shù))，由A、B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)知y_A=0，x_B=0，?

∴0=2+tsinα，即|PA|=|t|=;0=3+tcosα，即|PB|=|t|=-故|PA|·|PB|=∵90°＜α＜180°，∴當(dāng)2α=270°,即α=135°時(shí)，|PA|·|PB|有最小值.∴直線方程為(t為參數(shù))，化為普通方程即x+y-5=0.

點(diǎn)評(píng):直線的參數(shù)方程和普通方程可以進(jìn)行互化，特別是要求直線上某一定點(diǎn)到直線與曲線交點(diǎn)距離時(shí)通常要使用參數(shù)的幾何意義，宜用參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，而對(duì)于某些比較簡(jiǎn)單的直線問(wèn)題比如求直線和坐標(biāo)軸或者與某條直線交點(diǎn)時(shí)宜用直線的普通方程.