Question

在直角坐標(biāo)系中，定義：(xn，yn)

1 1 1 -1

=(xn+1，yn+1)，即

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

（n∈N^*）為點(diǎn)P_n（x_n，y_n）到點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一個(gè)變換．我們把它稱為點(diǎn)變換（或矩陣變換）．已知P₁（1，0）．
（1）求直線y=x在矩陣變換下的直線方程；
（2）設(shè)d_n=|OP_n|²（n∈N^*），求證：d_n為等比數(shù)列，并寫出d_n的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n+1，y_n+1）（n∈N^*）是經(jīng)過點(diǎn)變換得到的一列點(diǎn)．求數(shù)列x_n，y_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）（0，0）是變換中的不動(dòng)點(diǎn)，（1，1）變成（2，0），所以直線y=0；
（2）因?yàn)?span id="stteofx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

dn+1

dn

=

xn+12yn+12

xn2+yn2

=

(xn+yn)2+(xn-yn)2

xn2+yn2

，據(jù)此可寫出d_n的通項(xiàng)公式；
（3）由

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），由此可求出數(shù)列x_n，y_n的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）（0，0）是變換中的不動(dòng)點(diǎn)，（1，1）變成（2，0），
所以直線y=x變成x軸，即直線y=0；
（2）（1）因?yàn)?span id="s2ve5fh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

dn+1

dn

=

xn+12yn+12

xn2+yn2

=

(xn+yn)2+(xn-yn)2

xn2+yn2

所以d_n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，d_n=2^n-1；
（3）由

xn+1=xn+yn yn+1=xn-yn

，x_n=x_n-1+y_n-1=x_n-2+y_n-2+x_n-2-y_n-2=2x_n-2（n≥3），
所以x₁=1，x₂=1，x_n=2x_n-2（n≥3），同理得y₁=0，y₂=1，y_n=2y_n-2（n≥3），
則yn=

2 n 2 -1(n為偶數(shù)) 0  (n為奇數(shù))

，xn=

2 n 2 -1(n為偶數(shù)) 2 n-1 2 (n為奇數(shù))

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)列通項(xiàng)公式的求法．