Question

A．已知函數(shù)f(x)=

ax2+1

bx+c

(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在[1，+∞）上遞增．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

B．已知二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（2-x）=f（2+x）求不等式：f[log

1

2

（x²+x+

1

2

）]＜f[log

1

2

（2x²-x+

5

8

）]的解．

Answer 1

分析：A、（1）求三個(gè)未知數(shù)，需要三個(gè)條件，一是定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增可解．
（2）用單調(diào)性定義來(lái)探討，先在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形，在與0比較中出現(xiàn)討論，再進(jìn)一步細(xì)化區(qū)間，確定后即為所求的單調(diào)區(qū)間．
B、由題設(shè)二次函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向下，又對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有f（2-x）=f（x+2），知其對(duì)稱軸方程為x=2，由二次函數(shù)的這些特征即可研究出其單調(diào)性，分析log

1

2

（x²+x+

1

2

），log

1

2

（2x²-x+

5

8

）的范圍，利用二次函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式為log

1

2

（x²+x+

1

2

）＜log

1

2

（2x²-x+

5

8

），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為x²+x+

1

2

＞2x²-x+

5

8

，解此不等式即可求得結(jié)果．

解答：A、解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
故f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
又f（x）的定義域?yàn)?{x|x≠-

c

b

}（顯然b≠0，否則f（x）為偶函數(shù)）
∴-

c

b

=0，即c=0
于是得 f(x)=

a

b

x+

1

bx

，且

a+1

b

=2，

4a+1

2b

＜3
∴

8b-3

2b

＜3
∴0＜b＜

3

2

，又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增
（2）由（1）知 f(x)=x+

1

x

，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-1)
①當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時(shí)，顯然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）為減函數(shù)
②當(dāng)x₁＜x₂＜-1時(shí)，顯然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）為增函數(shù)
綜上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，在[-1，0）上是減函數(shù)．
B、解：由題意二次函數(shù)f（x）圖象開(kāi)口向下，
故在對(duì)稱軸兩邊的圖象是左降右升
又對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有f（2-x）=f（x+2），
故此函數(shù)的對(duì)稱軸方程是x=2
由此知，函數(shù)f（x）在（-∞，2]上是增函數(shù)，在（2，+∞）是減函數(shù)，
而x²+x+

1

2

=（x+

1

2

）²+

1

4

≥

1

4

，2x²-x+

5

8

=2（x-

1

4

）²+

1

2

≥

1

2

，
∴log

1

2

（x²+x+

1

2

）≤log

1

2

1

4

=2，log

1

2

（2x²-x+

5

8

）≤log

1

2

1

2

=1，
∵f[log

1

2

（x²+x+

1

2

）]＜f[log

1

2

（2x²-x+

5

8

）]
∴log

1

2

（x²+x+

1

2

）＜log

1

2

（2x²-x+

5

8

），
∴x²+x+

1

2

＞2x²-x+

5

8

，解得

4- 14

4

＜x＜

4+ 14

4

，
∴不等式的解集為(

4- 14

4

，

4+ 14

4

)．

點(diǎn)評(píng)：A、此題是中檔題．本題主要考查函數(shù)利用奇偶性和函數(shù)值，單間性來(lái)求解析式，在研究單調(diào)性中分類討論的思想應(yīng)用．
B、本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，還考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，特別注意對(duì)數(shù)不等式的求解時(shí)的定義域．