已知函數(shù)在區(qū)間[m,n]上為增函數(shù),且f(m)f(n)=-4.
(1)當(dāng)a=3時(shí),求m,n的值;
(2)當(dāng)f(n)-f(m)最小時(shí),
①求a的值;
②若P(x1,y1),Q(x2,y2)(a<x1<x2<n)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),且存在實(shí)數(shù)x使得,證明:x1<x<x2
【答案】分析:(1)已知函數(shù)在區(qū)間[m,n]上為增函數(shù),先用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)a=3時(shí)的所有單調(diào)區(qū)間,則有[m,n]為函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的子集.
(2)①由,當(dāng)且僅當(dāng)f(n)=-f(m)=2時(shí)等號(hào)成立求解.
②先分別表示出,再由,得到,,再用作差法比較的大小.
解答:解:.(2分)
(1)當(dāng)a=3時(shí),由,
或x=2,
所以f(x)在上為增函數(shù),在,(2,+∞)上為減函數(shù),(4分)
由題意知,且
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183751740576131/SYS201310241837517405761021_DA/15.png">,所以,
可知.(7分)
(2)①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183751740576131/SYS201310241837517405761021_DA/18.png">,
當(dāng)且僅當(dāng)f(n)=-f(m)=2時(shí)等號(hào)成立.(8分)
,有-a=2(n-1)2≥0,得a≤0;(9分)
,有a=2(m+1)2≥0,得a≥0;(10分)
故f(n)-f(m)取得最小值時(shí),a=0,n=1.(11分)
②此時(shí),,
知,,(12分)
欲證x1<x<x2,先比較的大。

=
=
=
因?yàn)?<x1<x2<1,所以0<x1x2<1,有x1(2-x1x2)+x2>0,
于是(x1-x2)[x1(2-x1x2)+x2]<0,即,(13分)
另一方面,,
因?yàn)?<x12x2<1,所以3+x12+x2-x12x2>0,從而x12-x2<0,即x1<|x|(14分)
同理可證x<x2,因此x1<|x|<x2.(15分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究單調(diào)性,求最值,比較大小中的應(yīng)用.
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已知函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的值域是[3m,3n],則m=      n=   

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已知函數(shù)在區(qū)間M上的反函數(shù)是其本身,則M可以是( )
A.[-2,2]
B.[-2,0]
C.[0,2]
D.[-2,0)

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已知函數(shù)在區(qū)間M上的反函數(shù)是其本身,則M可以是( )
A.[-2,2]
B.[-2,0]
C.[0,2]
D.[-2,0)

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已知函數(shù)在區(qū)間M上的反函數(shù)是其本身,則M可以是( )
A.[-2,2]
B.[-2,0]
C.[0,2]
D.[-2,0)

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