Question

設數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a_n＜a_n+1且前6項的平方和為70，立方和為0．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）在平面直角坐標系內，直線ln的斜率為a_n，且與曲線y=x²相切，與y軸交于B_n，記b_n=|B_n+1B_n|，求b_n；
（3）對于（2）問中數(shù)列{b_n}求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意有，由于{a_n}為等差數(shù)列，得到：a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄化簡得到：
解得首項和公差，從而得出{a_n}的通項公式；
（2）設l_n的方程為y=a_nx+m，將直線的方程代入圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合直線與曲線相切即可求得，從而求得求b_n解決問題．
（3）先利用|sinb₁+sinb₂+…+sinb_n|===，再結合三角函數(shù)的性質即可證得結論．
解答：解：（1）依題意有
∵{a_n}為等差數(shù)列，∴a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄
若a₁+a₆＞0，則a₁³+a₆³=（a₁+a₆）（a₁²+a₁a₆+a₆²）＞0
∴a₁³+a₂³+…+a₆³＞0同理，若a₁+a₆＜0，則a₁³+a₂³+…+a₆³＜0
∴a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄=0⇒a₁²+a₂²+…+a₆²=2（a₁²+a₂²+a₃²）=70
設{a_n}的公差為d，a_n＜a_n+1
∴d＞0

得∴a_n=2n-7
（2）設l_n的方程為y=a_nx+m由得x²-a_nx-m=0
∵直線與曲線相切∴△=0
∴；
（3）|sinb₁+sinb₂+…+sinb_n|=
=
=
∵cos5＞0，
∴
∴
點評：本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列與不等式的綜合、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．