Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=10^x-1，下面關(guān)于函數(shù)f（x）的判斷：
①當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=10^-x-1；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③對(duì)任意x₁，x₂∈（1，2），滿足（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＜0；
④當(dāng)x∈[2k，2k+1]，k∈Z時(shí)，f（x）=10^x-2k-1．其中正確判斷的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：x∈[0，1]時(shí)的解析式知道，利用偶函數(shù)，可先求得x∈[-1，0]時(shí)的解析式，又由f（x+2）=f（x）說明f（x）是周期為2的周期函數(shù)，則R上的解析式均可求出．可結(jié)合圖象求解．
解答：解：由題意可知f（x）的圖象如圖所示：
①當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，-x∈[0，1]，則f（-x）=10^-x-1，因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=10^-x-1，故①正確；
②正確；③x∈（1，2）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，故③正確；
④當(dāng)x∈[2k，2k+1]，k∈Z時(shí)，x-2k∈[0，1]，所以f（x-2k）=10^x-2k-1，
由f（x+2）=f（x）可知，f（x）是周期為2的周期函數(shù)，所以f（x）=f（x-2k）=10^x-2k-1，④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)解析式的求解，綜合性較強(qiáng)．