Question

已知?jiǎng)訄AS過(guò)點(diǎn)T（0，2）且被x軸截得的弦CD長(zhǎng)為4。
（1）求動(dòng)圓圓心S的軌跡E的方程；
（2）設(shè)P是直線l：y=x-2上任意一點(diǎn)，過(guò)P作軌跡E的切線PA，PB，A，B是切點(diǎn)，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)M；
（3）在（2）的條件下，過(guò)定點(diǎn)M作直線l：y=x-2的垂線，垂足為N，求證：MN是∠ANB的平分線。

Answer 1

解：（1）設(shè)S（x，y），根據(jù)題意，
|ST|²=|SC|²=2²+|y|²，
即。
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以
則PA：，即
設(shè)P（t，t-2），P在PA上
同理，P在PB上
故x₁，x₂是方程
的兩根，



故恒過(guò)點(diǎn)（2，2）。
（3）證明：過(guò)點(diǎn)M所作垂線l₁的方程為y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）
MN的斜率為-1，故傾斜角為
若AN，BN的斜率均存在，則設(shè)其分別為k₁，k₂，
對(duì)應(yīng)的傾斜角分別為α，β，
要證MN是∠ANB的平分線，只要證∠ANM=∠BNM，
即，
即要證k₁k₂=1

設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y= k（x-2）+2代入x²=4y，
得x²-4kx+8k-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8
y₁+y₂=k（x₁-2）+2+k（x₂-2）+2 =4k²-4k+4，②

將②，③代入①，得
 
當(dāng)時(shí)，k₁k₂=1，當(dāng)時(shí)，解得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，1），，
驗(yàn)證AN與BN的斜率一個(gè)不存在，一個(gè)為零，
即∠ANM=∠BNM，
即MN是∠ANB的平分線。