Question

已知圓C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，直線x+2y-4=0與圓C₁相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑作圓C₂
（Ⅰ）求圓C₂的圓心C₂坐標(biāo)；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O的直線l與圓C₁、圓C₂都相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓心的坐標(biāo)，過圓心C₁且與直線x+2y-4=0垂直的直線方程為y=2x，與直線x+2y-4=0聯(lián)立求得交點(diǎn)即圓心的坐標(biāo)，根據(jù)圓C₂的半徑求得圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程圓C₁的半徑為r₁，圓C₂的半徑為r₂．C₁到直線y=kx的距離為d₁，C₂到y(tǒng)=kx的距離為d₂．直線l與圓C₁、圓C₂都相切可推斷出d₁=r₁，d₂=r₂．利用勾股定理建立等式求得k，則直線l的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓心C₂坐標(biāo)為（x，y）．，
過圓心C₁（1，2）且與直線x+2y-4=0垂直的直線方程為y=2x，
∴

x+2y-4=0 y=2x

，解得

x= 4 5 y= 8 5

又因?yàn)閳AC₂的半徑為r=

( 4 5 )2+( 8 5 )2

=

4 5

5

∴圓C₂的方程為(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

．

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx，圓C₁的半徑為r₁，圓C₂的半徑為r₂．C₁到直線y=kx的距離為d₁，C₂到y(tǒng)=kx的距離為d₂．
則d₁=r₁，d₂=r₂．
由圖形知，r₁²=r₂²+C₁C₂²，
∴d12=d22+

1

5

∴(

|k-2|

k2+1

)2=(

| 4k 5 - 8 5 |

k2+1

)2+

1

5

，
解得：k=

9±5 2

2

．
∴直線l的方程為y=

9±5 2

2

x．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系及其判定．解題的關(guān)鍵是利用圓心與圓心的距離，圓心與直線的距離來判定．