【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)是線段上異于的一個(gè)定點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，使得，并說明理由.

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，即存在這樣的直線；當(dāng)時(shí)，不存在，即不存在這樣的直線.

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之可得a= 且b=1，從而得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）根據(jù)題意設(shè)直線l其方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得A 、B 滿足，從而得到AB的中點(diǎn)為M ，由|AC|=|BC|得CM⊥AB，利用斜率之積為-1建立關(guān)于k、m的關(guān)系式，整理后加以討論即可得答案

試題解析：(1) ∵，∴，∴,

∴橢圓的方程為.

(2) 由（1）得，∴，假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)為，

代入，得.

設(shè)，則，

∴.

設(shè)的中點(diǎn)為，則.

∵，∴，即，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，即存在這樣的直線；

當(dāng)時(shí)，不存在，即不存在這樣的直線.

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【題目】某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工至多參加了其中一組，在參加活動(dòng)的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%．登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．為了了解各組不同年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本，試確定：

（1）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（2）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)．

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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a＝1，b＝2，cos C＝.

(Ⅰ)求△ABC的周長(zhǎng)； (Ⅱ)求cos A的值．

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【題目】已知關(guān)于的不等式.

（1）是否存在使對(duì)所有的實(shí)數(shù)，不等式恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）設(shè)不等式對(duì)于滿足的一切的值都成立，求的取值范圍.

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【題目】設(shè),.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線的方程;

（Ⅱ）如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);

（Ⅲ）如果對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD .

（1）求證：CD⊥平面ABD；

（2）若AB＝BD＝CD＝1，M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A－MBC的體積．

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【題目】從某小區(qū)隨機(jī)抽取40個(gè)家庭，收集了這40個(gè)家庭去年的月均用水量（單位：噸）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）從該小區(qū)隨機(jī)選取一個(gè)家庭，試估計(jì)這個(gè)家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；

（3）在這40個(gè)家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個(gè)容量為7的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意選取2個(gè)家庭，求其中恰有一個(gè)家庭的月均用水量不低于8噸的概率.

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【題目】某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖：

（Ⅰ）求直方圖中的值；

（Ⅱ）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

（Ⅲ）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

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