Question

已知雙曲線x²-，經(jīng)過點M（1，1）能否作一條直線l，使直線l與雙曲線交于A、B，且M是線段AB的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：設過點M（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當k存在時有
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜
又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標
∴x₁+x₂= 又M（1，1）為線段AB的中點
∴=1 即 k=2
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程（1）無實數(shù)解
故過點m（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且M為線段AB中點的直線不存在．
（2）當x=1時，直線經(jīng)過點M但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在
分析：先假設存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在設出直線l的方程，當k存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜，M是線段AB的中點，則=1，k=2 與k＜矛盾，當k不存在時，直線經(jīng)過點M但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在
點評：本題考察了直線與雙曲線的位置關系，特別是相交時的中點弦問題，解題時要特別注意韋達定理的重要應用，學會判斷直線與曲線位置關系的判斷方法