Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線的斜率為3，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）如果的解集中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先求出，利用可求.

（2）因函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，故在上有解，利用求根公式求出的較大的根，它在區(qū)間中，從而得到的取值范圍，

（3）利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，而，故無(wú)整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，因在上有兩個(gè)不同的解且，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，結(jié)合可以得到，從而得到的取值范圍.

（1）由題意，，

由題意知，，所以，解得.

（2）令，所以，所以（舍負(fù)），

因?yàn)楹瘮?shù)在上存在極小值，所以，

解之得，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意，

所以.

（3）①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

在上為增函數(shù)，.

所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)整數(shù)解；

②當(dāng)，即或時(shí)，

若，則，同①可得無(wú)整數(shù)解；

若，即在上有兩個(gè)不同的解且，

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，

而，所以在上無(wú)解，故在上只有一個(gè)整數(shù)解，

故，即，

解得，

綜上，.