Question

如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P．

（i）若，求直線的斜率；

（ii）求證：是定值．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【考點】橢圓的性質，直線方程，兩點間的距離公式。

【解析】（1）根據橢圓的性質和已知和都在橢圓上列式求解。

       （2）根據已知條件，用待定系數(shù)法求解

解：（1）由題設知，，由點在橢圓上，得

，∴。

由點在橢圓上，得

∴橢圓的方程為。

（2）由（1）得，，又∵∥，

    ∴設、的方程分別為，。

    ∴。

     ∴。①

    同理，。②

   （i）由①②得，。解得=2。

   ∵注意到，∴。

   ∴直線的斜率為。

  （ii）證明：∵∥，∴，即。

   ∴。

   由點在橢圓上知，，∴。

  同理。。

  ∴

  由①②得，，，

  ∴。

  ∴是定值。