Question

 △ABC中, B是橢圓在x軸上方的頂點(diǎn), 是雙曲線(xiàn)位于x軸下方的準(zhǔn)線(xiàn), 當(dāng)AC在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí).

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

(2)過(guò)定點(diǎn)作互相垂直的直線(xiàn), 分別交軌跡E于M、N和R、Q, 求四邊形MRNQ面積的最小值.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由橢圓方程及雙曲線(xiàn)方程可得點(diǎn)直線(xiàn)方程是

   且在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)。

   可設(shè)

   則的垂直平分線(xiàn)方程為                            ①

   的垂直平分線(xiàn)方程為          ②

P是△ABC的外接圓圓心，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程①和②

由①和②聯(lián)立消去得

故圓心P的軌跡E的方程為_{--------------------------------------------------------（6分）}

(2)由圖可知，直線(xiàn)和的斜率存在且不為零，設(shè)的方程為，

，的方程為

由         得 _{------------------------------（8分）}

  △=直線(xiàn)與軌跡E交于兩點(diǎn)。

設(shè)，則。

同理可得：四邊形MRNQ的面積

_{------------（12分）}

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。

故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。----------------------------------------------------（13分）