Question

設Q是直線y=-1上的一個動點，O為坐標原點，過Q作x軸的垂線l，過O作直線OQ的垂線交直線l于P．
（1）求點P的軌跡C的方程．
（2）過點A（-2，4）作圓B：x²+（y-2）²=1的兩條切線交曲線C于M、N兩點，試判斷直線MN與圓B的位置關系．

Answer 1

解：（1）設P（x，y），
則Q（x，-1），
由OP⊥OQ，得，
由此能得到P點的軌跡C的方程為x²=y．
（2）：設過點A（-2，4）的直線為y=k（x+2）+4，
把直線方程y=k（x+2）+4代入拋物線方程y=x²．
得x²-kx-2k-4=0，
可得另一個根為x'=k+2，
由相切知3k²+8k+3=0．
設k₁，k₂是方程的兩個根，
由根與系數的關系能導出直線MN的方程為4x-3y+1=0，
由此知直線MN與圓B相切．
分析：（1）設P（x，y），則Q（x，-1），由OP⊥OQ得，由此能得到P點的軌跡C的方程．
（2）設過點A（-2，4）的直線為y=k（x+2）+4，把直線方程y=k（x+2）+4代入拋物線方程y=x²得x²-kx-2k-4=0
可得另一個根為x'=k+2，由相切知3k²+8k+3=0．由根與系數的關系能導出直線MN的方程為4x-3y+1=0，由此知直線MN與圓B相切．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要注意公式的合理運用．