Question

如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標為1的點到焦點的距離為p，過點P（1，0）做斜率為k的直線l交拋物線于A，B兩點，A點關(guān)于x軸的對稱點為C，直線BC交x軸于Q點；
（1）求p的值；
（2）求證：點Q是定點，并求出點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標為1的點為M，則M（

1

2p

，1），利用拋物線的定義得出其到焦點的距離等于到準線的距離，列出關(guān)于p的方程求解即可；
（2）由（1）得：拋物線方程為：y²=2x，設(shè)過點P（1，0）做斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用直線的主程即可求得求出點Q的坐標，從而解決問題．

解答：解：（1）設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標為1的點為M，則M（

1

2p

，1），
其到焦點的距離等于到準線的距離，即

1

2p

+

p

2

=p，∴p=1．
（2）由（1）得：拋物線方程為：y²=2x，
設(shè)過點P（1，0）做斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-1）代入拋物線方程得：
y²=2（1+

y

k

），即y²-2

y

k

-2=0，設(shè)點A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
則y_Ay_B=-2，
A點關(guān)于x軸的對稱點為C（x_A，-y_A），
直線BC的方程為：y-y_B=

y B+y A

x B-x A

（x-x_B），令y=0得：
x=x_B+

x B-x A

y B+y A

×（-y_B）=x_B+

y B 2 2p - y A 2 2p

y B+y A

×（-y_B）=x_B+

1

2p

×（-y_B²+y_Ay_B）
=

1

2p

×y_Ay_B
=-1，
即點Q是定點，點Q的坐標（-1，0）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線的定義、軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．