【題目】已知函數(shù)與的圖象在它們的交點處具有相同的切線.

（1）求的解析式；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求的取值范圍.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得兩個函數(shù)的導數(shù)，由公切線的斜率相同可得的方程；將切點代入兩個函數(shù)，可得的方程；聯(lián)立兩個方程即可求得的值，進而得的解析式；

（2）將的解析式代入并求得，由極值點定義可知，是方程的兩個不等實根，由韋達定理表示出，結(jié)合可得.代入中化簡，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求得并令求得極值點，由極值點兩側(cè)符號判斷單調(diào)性，并求得最小值，代入端點值求得最大值，即可求得的取值范圍.

（1）根據(jù)題意，函數(shù)與

可知，，

兩圖象在點處有相同的切線，

所以兩個函數(shù)切線的斜率相等，即，化簡得，

將代入兩個函數(shù)可得，

綜合上述兩式可解得，

所以.

（2）函數(shù)，定義域為，

，

因為，為函數(shù)的兩個極值點，

所以，是方程的兩個不等實根，

由根與系數(shù)的關(guān)系知，，

又已知，所以，

，

將式代入得

，

令，，

，令，解得，

當時，，在單調(diào)遞減；

當時，，在單調(diào)遞增；

所以，

，

，

即的取值范圍是.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】已知函數(shù)，，，，給出以下四個命題：（1）是偶函數(shù)；（2）是偶函數(shù)；（3）的最小值為；（4）有兩個零點；其中真命題的是______.

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A. B. C. D.

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（2）若，設直線與y軸交于D點，延長MD與拋物線C交于點N，拋物線C在點N處的切線為n，記直線n，與x軸圍成的三角形面積為S．求S的最小值．

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（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少一名考核為優(yōu)秀的概率；

（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量，求隨機變量的分布列.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖).

1.47

20.6

0.78

2.35

0.81

-19.3

16.2

表中.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.

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