已知圓C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.若存在，求出直線l的方程;若不存在，說明理由

假設(shè)存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.設(shè)l的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).

由OA⊥OB知，kOA·kOB=－1,   即=－1,∴y1y2=－x1x2.

由, 得2x2+2(b+1)x+b2+4b－4=0,

∴x1+x2=－(b+1),x1·x2=+2b－2,

y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=+2b－2－b(b+1)+b2=+b－2

∵y1y2=－x1x2       ∴+b－2=－(+2b－2)

即b2+3b－4=0.  ∴b=－4或b=1.

又Δ=4(b+1)2－8(b2+4b－4)=－4b2－24b+36=－4(b2+6b－9)

當(dāng)b=－4時，Δ=－4×(16－24－9)>0;

當(dāng)b=1時，Δ=－4×(1+6－9)>0

故存在這樣的直線l,它的方程是y=x－4或y=x+1,即x－y－4=0或x－y+1=0.


解析:

同答案

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-6x-4y+8=0．以圓C與坐標(biāo)軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）一個圓與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0所截得的弦長為2
7
，求此圓方程．
（2）已知圓C：x2+y2=9，直線l：x-2y=0，求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點為A．由點A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當(dāng)r=1時，試用k表示點B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點為有理點．我們知道，一個有理數(shù)可以表示為
qp
，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當(dāng)0＜k＜1時，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡述你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州一模）已知圓C：x2+y2=r2（r＞0）與拋物線y2=40x的準(zhǔn)線相切，若直線l：
x
a
+ 
y
b
=1與圓C有公共點，且公共點都為整點（整點是指橫坐標(biāo)．縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），那么直線l共有（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=4與直線L：x+y+a=0相切，則a=（　　）

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