Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是偶函數(shù)，試求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）王小平同學(xué)認(rèn)為：無論a取何實數(shù)，函數(shù)f（x）都不可能是奇函數(shù)．
你同意他的觀點嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化簡整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=0，∴f（x）=x²+|x|+1，
∵x²≥0，|x|≥0，∴f（x）≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f（x）=1，
∴當(dāng)x=0時，f（x）的最小值為1．
（Ⅲ）王小平同學(xué)的觀點是正確的．
若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）在R上恒成立，
∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
但無論a取何實數(shù)，f（0）=|a|+1＞0，
∴f（x）不可能是奇函數(shù)．
分析：（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的定義即f（-x）=f（x），列出方程進行化簡整理，求出a的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出函數(shù)解析式，觀察得x²≥0，|x|≥0，則f（x）≥1，即求出函數(shù)的最小值；（Ⅲ）先判斷觀點是正確的，再通過奇函數(shù)的定義即f（-x）=-f（x），進行證明．
點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用奇（偶）函數(shù)的定義進行求值、判斷以及證明，求函數(shù)的最值可根據(jù)解析式的特點直接進行求解．