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已知等差數列{an}的首項a1=1,公差d>0、且a2,a5,a14分別是等比數列{bn}的b2,b3,b4
(1)求數列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設數列{cn}對任意自然數n均有:
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1
成立、求c1+c2+c3+…+c2010的值.
分析:(1)首先根據a1和d,求出a2、a5、a14再根據a2、a5、a14是等比數列,求出數列{an}的通項公式;根據數列{an}求出b2,b3,即可求出數列{bn}的通項公式;
(2)當n≥2時,根據an+1-an,求出數列{cn}通項公式,但當n=1時,不符合上式,因此數列{cn}是分段數列;然后根據通項公式即可求出結果.
解答:解:(1)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,且a2、a5、a14成等比數列
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d)即d=2∴an=1+(n-1)•2=2n-1
又∵b2=a2=3,b3=a5=9、∴q=3,b1=1,bn=3n-1
(2)∵
C1
b1
+
C2
b2
++
Cn
bn
=an+1

C1
b1
=a2
即C1=b1a2=3
C1
b1
+
C2
b2
++
Cn-1
bn-1
=an   (n≥2)

①-②:
Cn
bn
=an+1-an=2

∴Cn=2•bn=2•3n-1(n≥2)
Cn=
3          (n=1)
2•3n-1   (n≥2)

  C1+C2+
C
 
3
++C2010=3+2•31+2•32++2•32010-1
=3+2•(31+32+33++32009)=3+2•
3(1-32009)
1-3
=32010
點評:本題考查了等比數列的性質,以及等差數列和等比數列的通項公式的求法,對于復雜數列的前n項和求法我們一般先求出數列的通項公式,再依據數列的特點采取具體的方法.
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