Question

如圖，左邊四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

，將左圖沿直線BC折起，使得二面角A-BC-C為60°．如圖
（1）求證：AE⊥平面BDC；
（2）求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得AE⊥EF，由線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥AE，由線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BDC；
（2）以E為原點(diǎn)建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線AC的方向向量與平面ABD的法向量，代入向量夾角公式，可得直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

解答：證明：（1）取BD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，
則AF=1，EF=

1

2

，∠AFE=60°，（2分），
由余弦定理知：
AE=

12+( 1 2 )2-2•1• 1 2 cos60°

=

3

2

，
∵AF²+EF²=AE²，
∴AE⊥EF，（4分），
又BD⊥平面AEF，AE?平面AEF，
∴BD⊥AE，
又∵EF∩BD=F，EF，BD?平面BDC
∴AE⊥平面BDC；      （6分）
解：（2）以E為原點(diǎn)建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，

3

2

)，C(-1，

1

2

，0)，B(1，-

1

2

，0)，D(-1，-

1

2

，0)，（8分），
設(shè)平面ABD的法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • DB =0 n • DA =0

，得

2x=0 x+ 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取z=

3

，則y=-3，
∴

n

=(0，-3，

3

)．
∵

AC

=(-1，

1

2

，-

3

2

)，
∴cos＜n，

AC

＞=

n• AC

|n|| AC |

=-

6

4

（11分）
故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為

10

4

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，解答（1）的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理，解答（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．