Question

【題目】（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，則x+y的最小值？

（2）已知不等式的解集為{x|a≤x＜b}，點(diǎn)（a，b）在直線mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若對任意滿足條件的m，n，恒有成立，則λ的取值范圍？

Answer 1

【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]

【解析】

（1）直接利用基本不等式的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)方程與不等式的關(guān)系求解出a，b的值，點(diǎn)（a，b）在直線mx+ny+1=0上，得到2m+n=1，再與相乘然后利用基本不等式的性質(zhì)即可得到λ的取值范圍。

（1）∵x＞0，y＞0，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號

由x+y+xy=8，

可得：8﹣（x+y）≤．

令x+y=t．（t＞0）．

得8﹣t≤，（t＞0）.

解得：t≥4，

即x+y≥4．

故x+y的最小值為4．

（2）由不等式的解集為{x|a≤x＜b}，

可得方程（x+2）（x+1）=0的兩個(gè)根=a=﹣2，=b=﹣1．

∵點(diǎn)（a，b）在直線mx+ny+1=0上，

得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．

對任意滿足條件的m，n，恒有成立，

則：．當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí)取等號．

∴λ≤9．

即λ的取值范圍是（﹣∞，9]．