Question

已知平面上兩個定點、，P為一個動點，且滿足．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若A、B是軌跡C上的兩個不同動點．分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設(shè)其交點為Q，證明為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)P（x，y），欲動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算即可得到．
（2）先設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，利用向量關(guān)系及向量運算法則，用A，B的坐標(biāo)表示出，最后看其是不是定值即可．
解答：解：（I）設(shè)P（x，y）．
由已知，

（3分）
∵
∴4y+8=4整理，得x²=8y
即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）
將（1）式兩邊平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λ²y₂（3分）
解（2）、（3）式得，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
拋物線方程為．
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是
，
即y=
解出兩條切線的交點Q的坐標(biāo)為（11分）
所以
=
所以為定值，其值為0．（13分）
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題   求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．