已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時(shí)
1
a2
+
1
b2
的值．
（Ⅰ）∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，
∴2a=4，a=2，2c=2
3
，c=
3
，
∴橢圓的方程：
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱性知：PRQS為菱形，原點(diǎn)O到各邊距離相等
（1）當(dāng)P在y軸上時(shí)，易知R在x軸上，此時(shí)PR方程為
x
a
+
y
b
=1，d=1⇒
1
a2
+
1
b2
=1．
（2）當(dāng)P在x軸上時(shí)，易知R在y軸上，此時(shí)PR方程為
x
a
+
y
b
=1，d=1⇒
1
a2
+
1
b2
=1．
（3）當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)PQ斜率為k，P（x1，kx1）、R(x2，-
1
k
x2)
P在橢圓上，
1
x21
=
1
a2
+
k2
b2
①；
R在橢圓上，
1
x21
=
1
a2
+
1
k2b2
②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+
x2
k
)2=(
x21
+k2
x21
)(
x22
+
x22
k2
)
整理得　
k2
x22
+
1
x21
=1+k2．再將①②代入，得
1
a2
+
1
b2
=1
綜上當(dāng)d=1時(shí)，有
1
a2
+
1
b2
=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點(diǎn)Q、R，求證
OQ
•
OR
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為2
3
，且過(guò)點(diǎn)M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（4，
3
）的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)
OA
•
OB
=3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，
ADB
為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，與OD所在直線交于E點(diǎn)，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B兩點(diǎn)，點(diǎn)（4，2）是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點(diǎn)F（
3
，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|=|CB|，問(wèn)△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為A，短軸端點(diǎn)分別為B、C，另有拋物線y=x2+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過(guò)點(diǎn)B作拋物線的切線，切點(diǎn)為P，直線PB與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范圍．

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